题目内容

已知 $数学公式$ 其中a为常数，f（3）=-2．
（1）求a值；
（2）若 $数学公式$ ，对任意的实数m，记V（m）为在定义域内g（x）-mx的最大值与最小值的差，求V（m）的最小值．

解：（1）∵f（3）=-2，
∴ $\text{[math]}$ ，?10-3a=4，
易求得：a=2；
（2）因为a=2，所以得到： $\text{[math]}$
进而得到 $\text{[math]}$

分情况讨论如下：
①若m＜0，max{g（x）-mx|x∈[1，3]}=2-3m，
min{g（x）-mx|x∈[1，3]}=1-m，V（m）=1-2m＞1
②若m=0，V（m）=1
③若0＜m＜1，如图，g（m）_min=V（2）=1-2m，
当 $\text{[math]}$ ，g（m）_max=V（3）=2-3m，
当 $\text{[math]}$ ，则 g（m）_max=V（1）=1-m
此时，分析得 $\text{[math]}$ ．
④若m=1，V（m）=1．
⑤若m＞1，V（m）=2m-1≥1．
综合以上得到V（m）的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用题中条件：“f（3）=-2，”得 $\text{[math]}$ ，易求得a值；
（2）由（1）得： $\text{[math]}$ ，进而得到 $\text{[math]}$ ，下面分情况讨论如下：
①若m＜0，②若m=0，V（m）=1；③若0＜m＜1，④若m=1，V（m）=1；⑤若m＞1，V（m）=2m-1≥1．最后综合以上得到V（m）的最小值．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、求对数函数解析式、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．