Question

5．函数$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$在（0，+∞）上取最小值时的x的值为1．

Answer 1

分析 在将函数式裂项，$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$=2（x+$\frac{1}{x}$）+1，再运用基本不等式求最值，最后确定取等条件．

解答 解：$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$
=2x+$\frac{2}{x}$+1=2（x+$\frac{1}{x}$）+1，
∵x＞0，∴x+$\frac{1}{x}$≥2，
因此，f（x）≥2×2+1=5，
当且仅当：x=$\frac{1}{x}$即x=1时，函数f（x）取得最小值5，
故答案为：1．

点评 本题主要考查了运用基本不等式求函数的最小值，以及取等条件的分析，“一正，二定，三相等”是其前提条件，属于基础题．