Question

11．解分式方程：
（1）$\frac{5}{{x}^{2}+6x+2}$+$\frac{4}{{x}^{2}+6x+8}$=$\frac{3}{{x}^{2}+6x+1}$；
（2）$\frac{2（{x}^{2}+1）}{x+1}$+$\frac{6（x+1）}{{x}^{2}+1}$=7．

Answer 1

分析 （1）设x²+6x+2=t，原方程化为：$\frac{5}{t}+\frac{4}{t+6}=\frac{3}{t-1}$，化为2t²+t-10=0，解得t，进而解出．
（2）令$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=t，则原方程化为：2t+$\frac{6}{t}$=7，化为2t²-7t+6=0，解得t，进而解出．

解答 解：（1）设x²+6x+2=t，原方程化为：$\frac{5}{t}+\frac{4}{t+6}=\frac{3}{t-1}$，化为2t²+t-10=0，解得t=2或-$\frac{5}{2}$．
∴x²+6x+2=2，或x²+6x+2=-$\frac{5}{2}$，
解得x=0或-6，或x=$\frac{-6±3\sqrt{2}}{2}$．
经过检验：0或-6，$\frac{-6±3\sqrt{2}}{2}$都是原方程的实数根．
（2）令$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=t，则原方程化为：2t+$\frac{6}{t}$=7，化为2t²-7t+6=0，解得t=2或$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=2或$\frac{3}{2}$，
分别化为：x²-x-1=0，或2x²-3x-1=0，
解得x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，或$x=\frac{3±\sqrt{17}}{4}$．
经过检验：x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，或$x=\frac{3±\sqrt{17}}{4}$都是原方程的解．

点评 本题考查了通过换元解分式方程的方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．