Question

圆心在曲线y=

2

x

(x＞0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为

（x-1）²+（y-2）²=5

．

Answer 1

分析：根据圆心在曲线y=

2

x

(x＞0)上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．

解答：解：由圆心在曲线y=

2

x

(x＞0)上，设圆心坐标为（a，

2

a

）a＞0，
又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，
由a＞0得到：d=

2a+ 2 a +1

5

≥

4+1

5

=

5

，当且仅当2a=

2

a

即a=1时取等号，
所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为

5

，
则所求圆的方程为：（x-1）²+（y-2）²=5．
故答案为：（x-1）²+（y-2）²=5

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．