Question

设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立 的是（　　）

• A、(a+b)(

  1

  a

  +

  1

  b

  )≥4
• B、a2+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

• C、|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• D、（a+b）²≤2（a²+b²）

Answer 1

分析：通过应用作差比较和基本不等式，可得A、B、D恒成立，通过举反例可得C不恒成立．

解答：解：由(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

1

=4，可得A恒成立．
由a2+

1

a2

-(a+

1

a

)=（ a-1 ）（ a-

1

a

 ）=

( a - 1 )( a2-1)

a

=

(a-1)2( a +1 )

a

≥0，可得B恒成立．
当  a-b=-

1

2

 时，|a-b|+

1

a-b

=-

3

2

，可得C不恒成立．
由  2（a²+b²）-（a+b）²=（a-b）²≥0，可得 D恒成立．
故选C．

点评：本题考查基本不等式的应用，用作差比较法证明不等式，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．