Question

设圆x²+y²=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得，2

a2+b2

≤

a2+b2

2

，
令 t=

a2+b2

，则t=|AB|，解不等式得t≥4．

解答：解：设切线方程为

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得

|0+0-ab|

a2+b2

=2，∴|a||b|=2

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令 t=

a2+b2

，
则t²-4t≥0，t≥4，故 t的最小值为 4．由题意知  t=|AB|，
故答案为：4．

点评：本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的应用，体现了换元的思想．