Question

（本小题满分22分）

将m位性别相同的客人，按如下方法入住A₁、A₂、…、A _n共n个房间。首先，安排1位客人和余下的客人的入住房间A₁；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人的入住房间A₂；依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人的入住；这样，最后一间房间A _n正好安排最后余下的n位客人。试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目。

 

Answer 1

解析：设安排完第k号客房A _k后还剩下a _k位客人，则a₀=m，a_n－1= n…(4分)

  因为第k号客房A _k入住的客人数为，

所以，即……………………(8分)

   变形得．

   这表明数列b _k=a _k+6k－36是等比数列，公比q=，

   其中b₀=a ₀－36=m－36，b_n－l= a _n－l+6 (n－1)－36=7n一42．  ……(12分)

代入通项公式得7n一42=，

即 ………………(16分)

由于m为正整数， 并且与互质，故|(n一6)，

但

   解得n=6，从而m=36．………………………………………………(20分)

   由此可知，客房A₁入住l+= 6位客人；客房A₂入住2+ =6位客人；客房A₃入住3+=6位客人；客房A₄入住4+ =6位客人；客房A₅人住5+=6位客人；最后一间客房人住了剩下的6位客人．

    综上可知，共有客人36人，客房6间，每间客房均入住6位客人．…(22分)