Question

（本小题满分22分）

设A、B分别为椭圆 和双曲线的公共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足 。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄.

（1）求证：k₁+k₂+k₃+k₄=0；

（2）设 F₁、F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点。若，求的值。

Answer 1

解析：(1)设P、Q两点的坐标分别为P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则 

   k₁+k₂=  ①……………(4分)

 同理可得意k₃+k₄=    ②     …………………………(7分)

   设O为原点，则，

所以，O，P，Q三点共线，于是得．

由①②得 k_l+k₂+k₃+k₄=0； ………………………………………(11分)

(2) 由点Q在椭圆上，有=1．   

由 ，得(x_l，y₁)=(x₂，y₂)．

所以  x₂=x _l，y₂=y _l，从而=²    ③

又由点P在双曲线上，有=1    ④   

由③④得  ……………………(15分)

因为PF₂∥QF₁，所以| OF₂|=|OF₁| ，所以

………………………………(18分)

由①得  ．同理可得  ．另一方面，

k_lk₂=．类似地，k₃k₄=．

故－2(k_lk₂+k₃k₄)=8 …(22分)