Question

19．若正实数x，y满足x²+3xy+4y²=1，则x+2y的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，$\frac{2\sqrt{14}}{7}$]
• B． （0，$\frac{2\sqrt{14}}{7}$]
• C． [1，$\frac{2\sqrt{14}}{7}$]
• D． （1，$\frac{2\sqrt{14}}{7}$]

Answer 1

分析 设x+2y=t，则x=t-2y，代入已知方程并整理可得2y²-ty+t²-1=0，由关于y的方程有正根可得t的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：设x+2y=t，则t＞0且x=t-2y，
代入已知方程并整理可得2y²-ty+t²-1=0，
由关于y的方程有正根可得$\left\{\begin{array}{l}{△={t}^{2}-8（{t}^{2}-1）≥0}\\{y=-\frac{-t}{2×2}＞0}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{t}^{2}-1}{2}＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组可得1＜t≤$\frac{2\sqrt{14}}{7}$
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及方程根的存在性，属中档题．