Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且．
（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质P；
（II）求证：；
（III）求证：n≤9．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用性质对任意的x，y∈A，且．代入可判断
（Ⅱ）依题意有 ，又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此 ．由此能够证明
（III）由 ，a≥1可得 ，因此n＜26．同理，可知 ．由此能够推导出n≤9．
解答：解：（I）由于，，，，，，
∴集合{1，2，3，4}具有性质P；
（Ⅱ）依题意有 ，又a₁＜a₂＜…＜a_n，
因此 ，
可得；
所以，即
（III）由 ，a≥1可得 ，因此n＜26，
同理，可知 ．又a_i≥i，可得所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，可知n＜10．
又当n≤9时，，所以n≤9．
点评：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．