Question

(2006北京朝阳模拟)已知函数，1＜m＜2．

(1)若f(x)在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－2，求m、n的值；

(2)在(1)条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f(x)相切的直线l的方程；

(3)设函数f(x)的导函数为g(x)，函数，试判断函数F(x)的极值点个数，并求出相应实数m的范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ∴由，得，． 又1＜m＜2，， ∴当时，，f(x)递增；当时，，f(x)递增减． ∴f(x)在区间[－1，1]上的最大值为f(0)=n，∴n=1． 又，，∴f(－1)＜f(1)． 由题意得f(－1)=－2，即，得．故，n=1为所求． (2)由(1)得， 易知点P(2，1)在曲线f(x)上． 又，∴当切点为P(2，1)时，切线l的斜率， 即4x－y－7=0． 当点P不是切点时，设切点为切线l的斜率， ∴l的方程为． 又点P(2，1)在l上，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．∴切线l的方程为y=1． 故所求切线l的方程为4x－y－7=0或y=1．(或者：由(1)知点A(0，1)为极大值点，所以曲线f(x)的点A处的切线为y=1，恰好经过点P(2，1)，符合题意．) (3)由已知得， ∴， ∴ ． ∵，二次函数的判别式为，整理，得． 又1＜m＜2， ∴当时，，此时，函数F(x)为单调递增，极值点个数为0；当时，Δ＞0，此时方程有两个相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F(x)有两个极值点．