Question

(2006北京朝阳模拟)如图所示，已知圆，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上．

(1)当r=2时，求满足条件的P点的坐标；

(2)当r(1，＋∞)时，求点N的轨迹G的方程；

(3)过点P(0，2)的直线l与(2)中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M(－1，0)． 设P(0，b)，则由． (或用勾股定理)得． ∴b=±1，即点P坐标为(0，±1)． 解法二：同上可得M(－1，0)设N(x，y)，则 解得N(1，±2)． ∴MN的中点P坐标为(0，±1)， (2)解法一：设N(x，y)， 由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为(1－r，0)． 设P(0，b)，则由． (或用) ∵点P为线段MN的中点，∴，y=2b．又r＞1， ∴点N的轨迹方程为(x≠0)． 解法二：设N(x，y)， 同上可得M(1－r，0)，则，消去r，又r＞1， ∴点N的轨迹方程为(x≠0)． (3)依题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx＋2，，， 由，得． 由Δ=－32k＋16＞0，得． ∵， ∴． ∴． 得． ∴k＞0或k＜－12． ∴或k＜－12．