Question

如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=

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AB，且O为AB中点．
（ I ） 求证：BC∥平面POD；
（ II ） 求证：AC⊥PD．

Answer 1

分析：（I）由O为AB中点，AB∥DC，AD=CD=

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AB，我们易得到BC∥OD，进而根据线面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）连接OC，由CD=BO=AO，CD∥AO，我们易判断出ADCO为菱形，则两条对角线AC⊥DO，又由梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，O为AB中点由面面垂直、及线面垂直的性质，易得PO⊥AC，进而由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面POD，再由线面垂直的定义，即可得到结论．

解答：证明：（I）因为O为AB中点，
所以BO=

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AB，（1分）
又AB∥CD，CD=

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AB，
所以有CD=BO，CD∥BO，（2分）
所以ODCB为平行四边形，
所以BC∥OD，（3分）
又DO?平面POD，BC?平面POD，
所以BC∥平面POD．（5分）
（II）连接OC．
因为CD=BO=AO，CD∥AO，
所以ADCO为平行四边形，（6分）
又AD=CD，所以ADCO为菱形，
所以AC⊥DO，（7分）
因为正三角形PAB，O为AB中点，
所以PO⊥AB，（8分）
又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD，（10分）
而AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．（12分）
又PD?平面POD，所以AC⊥PD．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间中线面之间垂直及平行的判定、性质和定义，建立良好的空间想像能力是解答立体几何证明问题的关键．