Question

动圆C过定点F，且与直线相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上的一定点P（x，y）（y≠0），方向向量的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k_PA，k_PB，计算k_PA+k_PB；
（3）曲线Γ上的两个定点P（x，y）、，分别过点P，Q作倾斜角互补的两条直线PM，QN分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线的定义即可得出轨迹方程；
（2）由直线l的方向向量可设直线l的方程为，与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件，即可得出k_PA+k_PB；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得到k_MN．设MP的直线方程为y-y=k（x-x）与抛物线联立，得到根与系数的关系，同理由直线QN的方程与抛物线的方程联立也得到根与系数的关系，代入k_MN即可证明．
解答：解：（1）过点C作直线的垂线，垂足为N，
由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，
其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）；       
（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
不过点P的直线l方程为，
由得y²+2yy-2yb=0，
则y₁+y₂=-2y，

=
=
==0．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则==（***）                    
设MP的直线方程为为y-y=k（x-x）与曲线y²=2px的交点P（x，y），M（x₁，y₁）．
由，的两根为y，y₁
则，∴
同理，得
∴，
代入（***）计算得．是定值，命题得证
点评：熟练掌握抛物线的定义、直线l的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立消去x得到关于y的一元二次方程及得到根与系数的关系、斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件等是解题的关键．