Question

已知动圆C过定点F（-

1

4

，0），且与直线x=

1

4

相切，圆心C的轨迹记为E．，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于

10

时，求k的值；
（Ⅲ）在曲线E上，是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义易知这是一条以(-

1

4

，0)为焦点，以x=

1

4

为准线的抛物线，即可得其标准方程
（Ⅱ）将直线与曲线联立，利用韦达定理，设而不求，将△OAB的面积表示为k的函数，求最值即可
（Ⅲ）假设存在这样的点，由MA⊥MB，得

MA

 •

MB

=0，再结合（Ⅱ）中的结论即可求得此定点

解答：解：（Ⅰ）点C的轨迹方程为y²=-x，
（Ⅱ）．由方程组
消去x后，整理得
y²=-x，
y=k（x+1）
ky²+y-k=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韦达定理

y1+y2=- 1 k y1y2=-1

∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
设直线l与x轴交于点N，则N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|
=

1

2

|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=

1

2

•1•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

∵S_△OAB=

10

，
∴

10

=

1

2

1 k2 +4

．解得k=±

1

6

（Ⅲ）设点M（x₀，y₀），若（y₁-y₀）（y₂-y₀）+（x₁-x₀）（x₂-x₀）=0
?

1

k2

x0+

1

k

y0+

y

2 0

+2x0+

x

2 0

=0
?

x0=0 y0=0 y 2 0 +2x0+ x 2 0 =0

?

x0=0 y0=0

故存在唯一的合乎题意的点M（0，0）

点评：本题综合考查了抛物线的定义和标准方程，直线与抛物线的关系，解题时要耐心细致，准确作答