Question

已知函数．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当a=-1时，，从而得到f'（x）==0的根为x=1，然后在（0，1）和（1，+∞）上分别讨论的正负，即可得到函数f（x）的增区间为（1，+∞）；
（II）将函数f（x）求导数，得f'（x）=，结合函数的定义域（0，+∞）可得x＞0且x+1＞0，从而x+a＞0在（0，+∞）上恒成立，所以实数a的取值范围是[0，+∞）．
解答：解：（I）当a=-1时，函数，
∴f'（x）==，
∵函数的定义域为（0，+∞），可得当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞）
（II）∵，
∴f'（x）==
∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，
∴f'（x）=＞0在（0，+∞）上恒成立
由x＞0且x+1＞0，可得x+a＞0在（0，+∞）上恒成立
∴a≥0，即实数a的取值范围是[0，+∞）．
点评：本题给出含有字母参数的基本初等函数，讨论了函数的单调性，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于中档题．