Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0）且a₂=5，a₃=17．
（Ⅰ）求a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）求证：{a_n+1}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n（a_n+1）}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知：数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，即可得出α，β；
（II）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3（a_n+1），再利用等比数列的定义即可得出．
（III）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，
∴
∴a_n+1=3a_n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵a₁=1，即a_n+1≠0，
∴，
∴{a_n+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，，
∴，
，
两式相减，得：
=，
∴．
点评：熟练掌握等比数列的定义、通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式、待定系数法等即可得出．