Question

如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为

2

10

．
（1）求tan（2α-β）的值；
（2）若

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求α+β．

Answer 1

分析：（1）由α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），求得tanα，用倍角公式求出tan2α，由图可知sinβ，β终边在第一象限，求tanβ，代入两角差正切求tan（2α-β）的值；
（2）求α+β，根据α+β的范围(

π

2

，

3π

2

)，先求其正弦值，然后可求出角的值．

解答：解：（1）由三角函数的定义，知tanα=-

4

3

，
∴tan2α=

2×(- 4 3 )

1-( 4 3 )2

=

24

7

．又由三角函数线知sinβ=

2

10

，
∵β为第一象限角，
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
∴tanβ=

1

7

，∴tan(2α-β)=

24 7 - 1 7

1+ 24 7 × 1 7

=

161

73

．
（2）∵cosα=-

3

5

，

π

2

＜α＜π，
∴sinα=

4

5

．又sinβ=

2

10

，cosβ=

1-sin2β

=

7 2

10

．
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

7 2

10

-

3

5

×

2

10

=

2

2

．
由

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

．

点评：本题考查了三角函数的定义、三角恒等变换、化简、和求值，求值过程中对角的范围、公式的应用，符号的选取要重点把握．