Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：几何法
（I）取AC中点D，连结SD，BD，根据等腰三角形三线合一，可得AC⊥SD且AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到AC⊥平面SBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥SB；
（Ⅱ）过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM．则∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，解Rt△NEF可得二面角N-CM-B的余弦值
解法二：向量法
（I）取AC中点O，连结OS、OB，建立空间坐标系，求出各点的坐标后，进而求出直线AC和SB方向向量的坐标，进而根据向量垂直的充要条件，证得AC⊥SB
（II）分别求出平面CMN的一个法向量和平面BCM（即平面ABC）的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角N-CM-B的余弦值．

解答：解法一：几何法
证明：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD，BD．
∵SA=SC，AB=BC
∴AC⊥SD且AC⊥BD，…（2分）
又∵SD∩BD=D，SD，BD?平面SBD
∴AC⊥平面SBD，
又∵SB?平面SBD，
∴AC⊥SB；
（Ⅱ）∵AC⊥平面SBD，AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBD，
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM．
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．…（6分）
∵平面ABC⊥平面SAC，SD⊥AC
∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，
∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

∴cos∠NFE=

1

3

∴二面角N-CM-B的余弦值为

1

3

．…（9分）
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．…（2分）
则A（2，0，0），B（0，2

3

，0），
C（-2，0，0），S（0，0，2

2

），
M（1，

3

，0），N（0，

3

，

2

）．
∴

AC

=（-4，0，0），

SB

=（0，2

3

，2

2

），
∵

AC

•

SB

=（-4，0，0）•（0，2

3

，2

2

）=0，…（3分）
∴AC⊥SB．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=（3，

3

，0），

MN

=（-1，0，

2

）．
设

n

=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

CM • n =0 MN • n =0

，即

3x+ 3 y=0 -x+ 2 z=0

，
取z=1，则

n

=（

2

，-

6

，1）…（6分）
又

OS

=（0，0，2

2

）为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

| n • OS |

| n |•| OS |

=

1

3

．…（8分）
∴二面角N-CM-B的余弦值为

1

3

．…（9分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，解法一的关键是（1）熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）将异面直线夹角转化为解三角形问题，解法二的关键是建立空间坐标系，将问题转化为向量夹角问题．