题目内容
如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)详见解题分析；(Ⅱ)详见解题分析；(Ⅲ)直线
与平面
所成角的正弦值为
．
解析试题分析：(Ⅰ)如图，在三棱柱
中，要证明
//平面，只要在平面内找的平行线，也即只要证明//
即可．需要先证明四边形
为平行四边形，这可有
且
//
得到；(Ⅱ)要证明平面
平面
，只要能在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可．可以尝试证明
平面
由于
是正三角形，
为
的中点，故
，为此只要证明
，它可以利益
底面
得到；(Ⅲ)首先需找到或作出线与平面所成角．按照定义，结合已知，在平面内，过点
作
交直线
于点
，连接
．再利用面面垂直的性质定理，证明
平面．由此得
为直线与平面所成角．最后在
中，利用锐角三角函数求直线与平面所成角的正弦值．
试题解析：(Ⅰ)证明：如图，在三棱柱中，
//
，且
连接
在
中，
分别为
的中点，
且
//
，又
为的中点，可得且//
即四边形为平行四边形，
//．又
平面
平面
//平面；
(Ⅱ)证明：由于是正三角形，为的中点，故
又由于侧棱底面
底面，
因此平面
平面，
平面平面；
(Ⅲ)解：在平面
练习册系列答案
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中，
，
，
，
. 把
沿对角线
折起到
的位置,如图2所示,使得点
在平面
上的正投影
恰好落在线段
,点
分别为线段
的中点． 
平面
；
与平面
所成角的正弦值；
上是否存在一点
,使得
四点的距离相等？请说明理由.
中，
,点
分别为
和
的中点.
平面
；
⊥EF;
CD＝1，PD＝
。
？
平面
，
，且
，
、
、
分别是线段
、
、
的中点.
平面
；
、
所成角的余弦值.
中，侧面
是等边三角形，在底面等腰梯形
中，
，
，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
.
平面
；
平面
.