题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
| an |
| 3an+1 |
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
（Ⅰ）∵a1=1，an+1=
，
∴a2=
=
；
a3=
=
=
，a4=
=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=
．
证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；
②假设n=k时，ak=
，
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N*，an=
．
| an |
| 3an+1 |
∴a2=
| a1 |
| 3a1+1 |
| 1 |
| 4 |
a3=
| a2 |
| 3a2+1 |
| ||
|
| 1 |
| 7 |
| ||
|
| 1 |
| 10 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=
| 1 |
| 3n-2 |
证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；
②假设n=k时，ak=
| 1 |
| 3k-2 |
则当n=k+1时，ak+1=
| ak |
| 3ak+1 |
| ||
3×
|
| 1 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3(k+1)-2 |
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N*，an=
| 1 |
| 3n-2 |
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．