题目内容

设{a_n}是各项为正数的无穷数列，A_i是边长为a_i，a_i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A_n}为等比数列的充要条件是

A.
{a_n}是等比数列
B.
a₁，a₃，…，a_2n-1，…或a₂，a₄，…，a_2n，…是等比数列
C.
a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列
D.
a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同

D
分析：根据题意可表示A_i，先看充分性，{A_n}为等比数列推断出 $\text{[math]}$ 为常数，可推断出a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同；再看必要性，要使题设成立，需要 $\text{[math]}$ 为常数，即a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．
解答：依题意可知A_i=a_i•a_i+1，
∴A_i+1=a_i+1•a_i+2，
若{A_n}为等比数列则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =q（q为常数），则a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比均为q；
反之要想{A_n}为等比数列则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 需为常数，即需要a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相等；
故{A_n}为等比数列的充要条件是a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同．
故选D
点评：本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．

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设{a_n}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+…+n2=

）
（Ⅰ）记S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，已知Sn≤n2+n-1，Tn≥

（n∈N^*），试求此等差数列的首项a₁及公差d；
（Ⅱ）若{a_n}的首项a₁及公差d都是正整数，问在数列{a_n}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′_m}？若存在，请写出{a′_m}的构造过程；若不存在，说明理由．

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①

＜an+1；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，c3=

，试证明{S_n}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）．求证：数列{d_n}单调递增．

（2012•上海二模）如果无穷数列{a_n}满足下列条件：①

≤a_n+1；②存在实数M，使a_n≤M．其中n∈N^*，那么我们称数列{a_n}为Ω数列．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前项和，c₃=

证明：数列{S_n}是Ω数列；
（3）设数列{d_n}是各项均为正整数的Ω数列，求证：d_n≤d_n+1．

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=

x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤

，a1=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜

，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：(1-an)2[

设{a_n} 是各项均为正整数的等差数列，项数为奇数，公差不为0，且各项之和等于2010，则该数列的第8项a₈ 的值等于