Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为正方形.且，，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意，因为底面为正方形，利用勾股定理，证得，，再结合线面垂直的判定定理，即可求解；

（2）分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）由题意，因为底面为正方形，且，，，

所以，，

所以，.

又，平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，又因为底面为正方形，

所以分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，即，

令，所以.

同理可求得平面的一个法向量，

所以.

又二面角的平面角为钝角，

故二面角的余弦值为.