Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个焦点是F，M是椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的积为4，椭圆上存在着以直线l：y=x为对称轴的对称点M₁和M₂，且|M₁M₂|=，求椭圆的方程.

Answer 1

解：设椭圆方程为=1(a＞b＞0)，依题意，

∵|MF|的最大值为a+c，|MF|的最小值为a-c，则（a+c)(a-c)=4，即b²=4.

设过M₁、M₂的直线方程为y=-x+m，直线M₁M₂与椭圆交于M₁（x₁,y₁)，M₂（x₂,y₂），线段M₁M₂的中点为M（x₀,y₀）.

由得(4+a²)x²-2a²mx+a²m²-4a²=0.

x₀=(x₁+x₂)=，     ①

y₀=-x₀+m=,         ②

将①②代入y=x，得=，又∵a²＞b²=4,∴m=0，

∴x₁+x₂=0,x₁x₂=,

|M₁M₂|=.∴a²=5.

所以椭圆方程为=1.