Question

20．已知函数f（x）=mx²-mx-1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，则m的取值范围是（-∞，$\frac{6}{7}$）．

Answer 1

分析 mx²-mx-1＜-m+5恒成立?m（x²-x+1）＜6恒成立，继而可求得m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，依题意，可求得（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，从而可得m的取值范围．

解答 解：依题意，x∈[1，3]，mx²-mx-1＜-m+5恒成立?m（x²-x+1）＜6恒成立，
∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，x∈[1，3]，
又当x=3时，x²-x+1取得最大值7，
∴m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，
即m的取值范围是：m＜$\frac{6}{7}$．
故答案为：（-∞，$\frac{6}{7}$）．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查等价转化思想与分离参数法，求得（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$是关键，属于中档题．