Question

【题目】已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．

（1）求的方程；

（2）过点的动直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

(1)抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程；

(2)由题意知直线的斜率存在，设其方程为，设，将直线与椭圆联立成方程组，利用根与系数关系求出和，代入弦长公式即可求出，再利用点到直线距离公式求原点到直线的距离，从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．

(1)抛物线的焦点坐标为，则，

又椭圆的离心率，所以，

所以，

故所求椭圆的标准方程为．

(2)由题意知直线的斜率存在，设其方程为,

设，则

由消去得，

由，得，

由根与系数的关系可得，，

又原点到直线的距离，

所以，

令，则，所以

，当且仅当，即，此时，

所以的面积的最大值为．