Question

【题目】某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．

(1)求实数a的值；

(2)若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．

Answer 1

【答案】(1)；(2)投入甲商品的资金为万元，投入乙商品的资金为万元，此时收益最大为万元．

【解析】

(1)将代入，即可求出的值；

(2)根据分段函数求出在和内的收益函数，分别利用基本不等式和二次函数求出两段的最值，然后比较大小即可得出结果．

(1)依题意可得，解得．

(2)设投入商品的资金为万元，则投入商品的资金为万元，

设收入为万元，则

①当时，，，

则

，当且仅当，即时，取等号．

②当时，则，

因为，所以此时，

因为，所以最大收益为万元，

答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．