Question

已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在(记为)，则是与点位置无关的定值。试写出双曲线的类似性质，并加以证明。

Answer 1

双曲线的类似性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，且直线的斜率都存在(记为)，则是与点位置无关的定值。证明见解析。

解析:

双曲线的类似性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，且直线的斜率都存在(记为)，则是与点位置无关的定值。

证明如下：

设点的坐标为，则点的坐标为，且，

又设点的坐标为，则。

将和 代入上式，得(定值)。