Question

已知

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（sinx，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

，x∈[

π

2

，π]
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用向量的数量积求出函数的表达式，利用函数为0，即可求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）通过二倍角的余弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围，求出相位的范围，然后求出函数f（x）的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：由题意：函数f（x）=

a

•

b

=

3

sin²x+sinxcosx，x∈[

π

2

，π]．…（1分）
令f（x）=0，得 

3

sin²x+sinxcosx=0，
所以sinx=0，或tanx=-

3

3

．…（2分）
由sinx=0，x∈[

π

2

，π]，得x=π．
由tanx=-

3

3

，x∈[

π

2

，π]，得x=

5π

6

．
综上，函数f（x）的零点为

5π

6

或π．                   …（6分）
（Ⅱ）解：函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx=

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

   …（8分）
因为x∈[

π

2

，π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]
当2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，f（x）的最大值为

3

；    …（12分）
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，f（x）的最小值为-1+

3

2

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．