Question

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足

MN

 • 

MP

=6|

NP

|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积S△MNQ=

3

2

？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设动点坐标，利用

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，可得轨迹方程，从而可得动点P的轨迹C；
（2）利用面积求得点Q的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得点Q的坐标．

解答：解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴

MP

=( x-4 ， y )，

MN

=( -3 ， 0 )，

NP

=( x-1 ， y )．  …（3分）
由

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，得-3( x-4 )=6

( 1-x )2+( -y )2

，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
（2）设曲线C上存在点Q（x₀，y₀）满足题意，则S△MNQ=

3

2

．    …（9分）
∴

1

2

|MN|•|y0| =

3

2

，
又|MN|=3，故|y₀|=1．           …（11分）
∵

x02

4

+

y02

3

=1，∴x02=4( 1-

y02

3

)=4( 1-

1

3

)=

8

3

．        …（12分）
∴x0=±

8 3

=±

2 6

3

．                                  …（13分）
∴曲线C上存在点Q( ±

2 6

3

 ， ±1 )使得△MNQ的面积S△MNQ=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．