Question

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出动点坐标，利用向量数量积公式及模长公式，即可求动点P的轨迹C；
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l₁与直线l的距离．
解答：解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴，，． …（3分）
由，得，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即，
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l₁与直线l的距离．
设直线l₁的方程为x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）
由，消去y得4x²+2mx+m²-12=0（*）．
依题意得△=0，即4m²-16（m²-12）=0，故m²=16，解得m=±4．
当m=4时，直线l₁：x+2y+4=0，直线l与l₁的距离．
当m=-4时，直线l₁：x+2y-4=0，直线l与l₁的距离．
由于，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为．…（12分）
当m=-4时，方程（*）化为4x²-8x+4=0，即（x-1）²=0，解得x=1．
由1+2y-4=0，得，故．                     …（13分）
∴曲线C上的点到直线l的距离最小．   …（14分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．