Question

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足

MN

 • 

MP

=6|

NP

|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小．

Answer 1

分析：（1）设出动点坐标，利用向量数量积公式及模长公式，即可求动点P的轨迹C；
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l₁与直线l的距离．

解答：解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴

MP

=( x-4 ， y )，

MN

=( -3 ， 0 )，

NP

=( x-1 ， y )． …（3分）
由

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，得-3( x-4 )=6

( 1-x )2+( -y )2

，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1，
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l₁与直线l的距离．
设直线l₁的方程为x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）
由

3x2+4y2=12 x+2y+m=0

，消去y得4x²+2mx+m²-12=0（*）．
依题意得△=0，即4m²-16（m²-12）=0，故m²=16，解得m=±4．
当m=4时，直线l₁：x+2y+4=0，直线l与l₁的距离d=

|4+12|

1+4

=

16 5

5

．
当m=-4时，直线l₁：x+2y-4=0，直线l与l₁的距离d=

|-4+12 |

1+4

=

8 5

5

．
由于

8 5

5

＜

16 5

5

，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为

8 5

5

．…（12分）
当m=-4时，方程（*）化为4x²-8x+4=0，即（x-1）²=0，解得x=1．
由1+2y-4=0，得y=

3

2

，故Q( 1 ， 

3

2

 )．                     …（13分）
∴曲线C上的点Q( 1 ， 

3

2

 )到直线l的距离最小．   …（14分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．