Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若函数y=f（x）的图象过原点，且|f（x）|≤1的解集为{x|-1≤x≤3}，求f（x）的解析式；
（2）若x=-1，0，1时的函数值的绝对值均不大于1，当x∈[-1，1]时，求证：|ax+b|≤2．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象和性质得到对称轴，由此得到未知量．
（2）由题意得到三个不等式，由函数y=ax+b在[-1，1]上单调，利用绝对值不等式的性质得到结论．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）的图象过原点，
∴c=0
∵|f（x）|≤1的解集为{x|-1≤x≤3}，
得到f（x）对称轴为x=1
得：b=-2a
∵|f（-1）|=1，|f（3）|=1
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x或f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x或
证明：（2）由题意得，|f（0）=|c|≤1|
|f（1）|=|a+b+c|≤1
|f（-1）|=|a-b+c|≤1|
∵函数y=ax+b在[-1，1]上单调，
∴|ax+b|≤max{|a+b|，|-a+b|}
又∵|a+b|≤|a+b+c|+|-c|≤2
|a-b|≤|a-b+c|+|-c|≤2
∴|ax+b|≤2．

点评 本题考查不等式的证明，涉及绝对值不等式的性质，函数的单调性．