Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形．
（1）证明：AC⊥BC₁；
（2）若BC=2，AB₁=8，求C₁M与平面ACB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AM=a，则CB₁=a，AB₁=2a，利用余弦定理得出AC=$\sqrt{3}a$，从而AC⊥CB₁，由CC₁⊥平面ACB可得CC₁⊥AC，故而AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）作C₁H⊥CB₁于点H，连接MH，则∠C₁MH为所求角，利用勾股定理计算出C₁H，C₁M，即得∠C₁MH的正弦值．

解答 证明：（1）∵M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形，
∴AM=B₁M=CM，∠AB₁C=60°．
设AM=a，则AB₁=2a，B₁C=a，∴AC=$\sqrt{A{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{C}^{2}-2A{B}_{1}•{B}_{1}C•cos∠A{B}_{1}C}$=$\sqrt{3}$a．
∴AC²+B₁C²=AB₁²，∴AC⊥CB₁．
∵C₁C⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴C₁C⊥AC，
又CB₁，C₁C?平面BCC₁B₁，CB₁∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（2）解：作C₁H⊥CB₁于点H，连接MH．
∵AC⊥平面BCC₁B₁，C₁H?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥C₁H，
又CB₁，AC?平面ACB₁，CB₁∩AC=C，
∴C₁H⊥平面ACB₁．
∴∠C₁MH为直线C₁M与平面ACB₁所成角．
∵AB₁=8，∴CB₁=4，AC=4$\sqrt{3}$，
∵C₁B₁=BC=2，∴CC₁=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴C₁H=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}•C{C}_{1}}{{B}_{1}C}$=$\sqrt{3}$．
取CB₁中点G，连接MG，C₁G．
∵M是AB₁的中点，∴MG∥AC，MG=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{3}$．
∵AC⊥平面BCC₁B₁；∴MG⊥平面BCC₁B₁；
∴MG⊥GC₁
∵MG=2$\sqrt{3}$，C₁G=$\frac{1}{2}$CB₁=2，∴C₁M=4．
∴sin∠C₁MH=$\frac{{C}_{1}H}{{C}_{1}M}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
即C₁M与平面ACB₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的做法与计算，属于中档题．