Question

如图，在二次函数f(x)=4x-x²的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.

Answer 1

分析：本题考查常见函数的导数及用导数求最值等知识点.求函数最值的关键是选好自变量建立目标函数.一般说来，若f(x)是关于x的二次函数，可用配方法，也可用求导的方法求最值；若f(x)是三次或三次以上函数，则用求导的方法求最值，但均需注意函数的定义域.

解：如上图，f(x)=4x-x²=-(x-2)²+4，它的对称轴方程是x=2,顶点坐标是（2，4）.    

不妨设A（x,0)(0<x<2),则B（4-x,0),D(x,f(x)).

∵D(x,f（x））在抛物线上,∴f(x)=4x-x².       

∴S_矩形ABCD=(4-2x)(4x-x²)

=2x³-12x²+16x(0<x<2).                      

∴S′=6x²-24x+16.                         

令S′=0,得x₁=2-,x₂=2+(舍去）.  

又∵S_矩形ABCD在x∈(0,2)上只有一个极值点，

∴它必是一个最值点.

∴［S_矩形ABCD］_max=2(2-)³-12(2-)²+16(2-)=.