Question

A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s)，C在B的北偏西30°方向上且距B点4 km．若A炮击P地，求炮击的方位角．

Answer 1

答案：
解析：

解：以AB的中点为坐标原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，)． 　　∵|PB|－|PA|＝4， 　　∴点P在以A、B为焦点为双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是＝1(x≥2)． 　　又∵|PB|＝|PC|， 　　∴点P在线段BC的垂直平分线上．BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0， 　　代入双曲线方程得11x2－56x－256＝0， 　　∴x＝8或x＝(舍去)． 　　∴P(8，)． 　　∴kPA＝tanα＝． 　　∴α＝60°． 　　故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°．

提示：

本题考查利用双曲线方程解决实际问题的能力，特别是数学建模能力．可首先建立坐标系，构造出符合双曲线定义的数学模型，利用双曲线定义及方程解答此题．