Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a_n+1=2S_n+2()
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，
①在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；
②求证：.

Answer 1

（1）   （2）见解析

试题分析：
（1）利用S_n与a_n之间的关系,即可得到关于a_n+1,a_n的递推式，证明a_n为等比数列，且可以知道公比，当n=1时，可以得到a₁与a₂之间的关系，在根据a_n等比数列，可以消掉a₂得到首项的值，进而得到通项公式.
（2）根据等差数列公差与项之间的关系(),可以得到，带入a_n得到d_n的通项公式.
①假设存在，d_m，d_k，d_p成等比数列，可以得到关于他们的等比中项式子，把d_n的通项公式带入计算可以得到，则m,k,p既成等差数列也是等比数列，所以三者相等，与数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出的通项公式，再利用错位相减可以求得,利用不等式的性质即可得到证明原式.
试题解析：
（1）由,
可得：,
两式相减：.        2分
又,
因为数列是等比数列，所以，故.
所以.        4分
（2）由（1）可知，
因为：，故：.        6分
①假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，
则：，即：,
（*）      8分
因为成等差数列，所以,
（*）可以化简为，故，这与题设矛盾.
所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列.10分
②令，
,
      11分
两式相减：
      13分
.      14分