题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF1与椭圆的另一个交点为B，△ABF2的周长为8，直线AF1被圆O：x2+y2=b2截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足：
CP
=-λ
PD
，
CQ
=λ
QD
，λ≠0且λ≠±1．求证：点Q总在某定直线上．
分析：（I）利用△ABF2的周长为8，可求a的值，确定直线AF1的方程，利用直线AF1被圆O：x2+y2=b2截得的弦长为3，即可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；
（II）设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x，y），利用
CP
=-λ
PD
，
CQ
=λ
QD
，λ≠0且λ≠±1，结合C、D在圆O上，即可证得结论．
解答：（I）解：∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，∴a=2
∵F1（-c，0），A（0，-b），∴直线AF1的方程为
x
-c
+
y
-b
=1，即bx+cy+bc=0
∵直线AF1被圆O：x2+y2=b2截得的弦长为3，O到直线AF1的距离d=
bc
b2+c2
=
bc
2
．
∴(
bc
2
)2+
9
4
=b2
∴b2c2+9=4b2
∵c2=4-b2，∴b2=3
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x，y），
∵
CP
=-λ
PD
，∴（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3）
∴
1-x1=-λ(x2-1)
3-y1=-λ(y2-3)
，即
x1-λx2=1-λ(1)
y1-λy2=3(1-λ)(2)

同理
x1+λx2=(1+λ)x(3)
y1+λy2=(1+λ)y(4)

（1）×（3），得
x
2
1
-λ2
x
2
2
=（1-λ2）x（5）
（2）×（4），得
y
2
1
-λ2
y
2
2
=3（1-λ2）y（6）
（5）+（6），得
x
2
1
+
y
2
1
-λ2(
x
2
2
+
y
2
2
)=（1-λ2）（x+3y）
∵C，D在圆O上，∴
x
2
1
+
y
2
1
=3，
x
2
2
+
y
2
2
=3
∴3（1-λ2）=（1-λ2）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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