Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

(1)证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

(2)求D₁到平面BDE的距离.

Answer 1

(1)证明：建立如图的坐标系, 得B(0, 1, 0), D₁(1, 0, 2), F(,, 1), C₁(0, 0, 2), E(0, 0, 1).

∴,

,

.

∴,,

即EF⊥CC₁, EF⊥BD₁.

故EF是CC₁与BD₁的公垂线.

(2)解：同(1)B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), E(0, 0, 1).

设平面BDE的法向量n=(x, y, z), 则,.

∴(x, y, z)(1, -1, 0)=0, (x, y, z)(-1, 0, 1)=0,

即∴

∴点D₁到平面BDE的距离.