Question

如图,空间四边形ABCD中,∠BCD=90°,AD⊥平面BCD,BC=DC=2,AD=4.

(1)求直线AD与平面ABC所成角的正切值;

(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

Answer 1

解:(1)如图,作DE⊥AC交AC于点E,

∵AD⊥平面BCD,

∴BC⊥AD.

又BC⊥CD,

∴BC⊥平面ACD.

∴BC⊥DE.

又DE⊥AC,∴DE⊥平面ABC,∠DAC为AD与平面ABC所成的角.

tan∠DAC=.

(2)设F为BD的中点,∵BC=CD,

∴CF⊥BD.

又CF⊥AD,∴CF⊥平面ABD,∠FAC为AC与平面ABD所成的角.

在Rt△AFC中,CF=,AC=,

∴sin∠FAC=.