Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinπx-sin（πx+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求y=f（x）的正零点；   
（2）设f（x）的所有正零点依次组成数列{a_n}，数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再根据函数的零点的定义求得（x）的正零点．
（2）由条件利用累加法求数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinπx-sin（πx+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sinπx-sinπxcos$\frac{π}{6}$-cosπxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπx-$\frac{1}{2}$cosπx=sin（πx-$\frac{π}{6}$），
令f（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$）=0，求得 πx-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈N，即 x=k+$\frac{1}{6}$，k∈N．
（2）f（x）的所有正零点依次组成数列{a_n}，则a_n=n-$\frac{5}{6}$，
数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*，∴b₁=0，b₂-b₁=1-$\frac{5}{6}$，b₃-b₂=2-$\frac{5}{6}$，…b_n-b_n-1=（n-1）-$\frac{5}{6}$，
累加可得 b_n=0+（1-$\frac{5}{6}$）+（2-$\frac{5}{6}$）+…+（n-1-$\frac{5}{6}$）=[1+2+3+…+（n-1）]-（n-1）$\frac{5}{6}$=$\frac{（n-1）•n}{2}$-（n-1）$\frac{5}{6}$=$\frac{{3n}^{2}-8n-5}{6}$，
即b_n=$\frac{{3n}^{2}-8n-5}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的零点的定义，用累加法求数列的通项公式，属于中档题．