Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于

 

．

Answer 1

分析：首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=

3

2

b/

a

2

=

3

3

，求得a=3b，最后根据a²=c²+b²得出离心率．

解答：解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形
∴BC∥OA，
B、C两点的纵坐标相等，
B、C的横坐标互为相反数
∴B、C两点是关于Y轴对称的．
由题知：OA=a
四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a
可设B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y）
代入椭圆方程解得：|y|=

3

2b

设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形
所以∠COD=30°
对C点：tan30°=

3

2

b/

a

2

=

3

3

解得：a=3b
根据：a²=c²+b²
得：a²=c²+

a2

9

e²=

8

9

e=

2 2

3

故答案为：

2 2

3

．

点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出B、C两点的纵坐标进而得到a=3b是解题的关键，属于中档题．