Question

四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．

Answer 1

四边形面积的最大值为，最小值为

解析:

由条件知和是椭圆的两条弦，相交于焦点，且，直线中至少有一条存在斜率，不妨设的斜率为．又过点，故方程为．将此式代入椭圆方程得．

设两点的坐标分别为，

则，．

从而，

亦即．

（Ⅰ）当时，的斜率为，同上可推得．

故四边形面积．

令，得．

因为，当时，，且是以为自变量的增函数，所以．

（Ⅱ）当时，为椭圆的长轴，，，

．

综合（Ⅰ），（Ⅱ）知，四边形面积的最大值为，最小值为．