Question

已知数列的前项和为，通项为，且满足（是常数且）．

（I）求数列的通项公式；

（II） 当时，试证明；

（III）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意，，得∴　…1分

当时， ，

　　∴　 …3分

∴数列是首项，公比为的等比数列，∴　………4分

（II）由（Ⅰ）知当时，　………5分

∵，∴　 …………6分

即　　　　　　　　　　　　　 ……7分

（III）∵ 　　

＝

=　　　　　　　　 …9分

∵　　　　　　　　　　 ……10分

∴＝ …12分

由得 -------()

∵()对都成立 ∴　∵是正整数，∴的值为1,2,3．

∴使对都成立的正整数

存在，其值为：1，2，3． 解：（I）由题意，，得∴ …1分

当时， ，

　 ∴　 …3分

∴数列是首项，公比为的等比数列，∴ ………4分

（II）由（Ⅰ）知当时， ………5分

∵，∴　 …………6分

即　　　　　　　　　　　　　 ……7分

（III）∵ 　　

＝

= …9分

∵ ……10分

∴＝ …12分

由得 -------()

∵()对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3．

∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3． ……13分