Question

17．在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：x+$\sqrt{3}$y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线x-2y=0上时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根据A在射线OA上，设A（a，a），根据P为线段AB中点，利用中点坐标公式变形出B坐标，代入射线OB解析式求出a的值，确定出A与B坐标，即可求出直线AB解析式；
（2）求出AB的中点坐标为（$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$，$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$），由AB的中点在直线x-2y=0上，得$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$-2×$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$=0，由此能求出直线AB的方程．

解答 解：（1）设A（a，a），
∵A、B的中点为P，
∴B（2-a，-a），
将B代入射线OB解析式得：$\sqrt{3}$×（2-a）+3×（-a）=0，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴A（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1），B（3-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$），
则直线AB为y=（-1-$\sqrt{3}$）（x-1）；
（2）设直线AB的方程为：y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{k}{k-1}}\\{{y}_{1}=\frac{k}{k-1}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}\\{{y}_{2}=-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}\end{array}\right.$，
∴AB的中点坐标为（$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$，$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$），
∵AB的中点在直线x-2y=0上，
∴$\frac{\frac{k}{k-1}+\frac{\sqrt{3}k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$-2×$\frac{\frac{k}{k-1}-\frac{k}{1+\sqrt{3}k}}{2}$=0，
解得k=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴直线AB的方程为：3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0．

点评 此题考查了点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式是解本题的关键．