Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆长轴的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• B． [$\sqrt{3}$，2]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• D． [$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，把根与系数的关系可得：a²+b²=2a²b²．由椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，化为：a²+b²＞1．
x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴2×$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+1=0．
化为a²+b²=2a²b²．
∴b²=$\frac{{a}^{2}}{2{a}^{2}-1}$．
∵椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{3}≤{e}^{2}$$≤\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$≤$\frac{1}{2}$，
化为5≤4a²≤6．
解得：$\sqrt{5}$≤2a≤$\sqrt{6}$．满足△＞0．
∴椭圆长轴的取值范围是[$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$]．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．