Question

（本小题满分16分）

已知函数，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的单调性，并证明你的结论；

（2）设函数 若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g (x₁) = g (x₂) 成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（本小题满分16分）

解：（1）f (x)为单调减函数．                          ………………………1分

证明：由0<m≤2，x≥2，可得

==．

       由 ，………………4分

且0<m≤2，x≥2，所以．从而函数f(x)为单调减函数．  ……………5分

（亦可先分别用定义法或导数法论证函数在上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．）

（2）①若m≤0，由x₁≥2，，

x₂＜2，，

所以g (x₁) = g (x₂)不成立．                      ………………………7分

②若m＞０，由x＞2时，，

所以g(x)在单调递减．从而，即．

……………………9分

（a）若m≥2，由于x＜２时，，

所以g(x)在(－∞,2)上单调递增，从而，即．

要使g (x₁) = g (x₂)成立，只需，即成立即可．

由于函数在的单调递增，且h(4)=0，

所以2≤m＜4．                                ………………………12分

（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，

所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．

从而，即．

要使g (x₁) = g (x₂)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜m＜2，得 ．

故当0＜m＜2时，恒成立．            ……………………15分

综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．        ………………………16分