Question

设两个向量

m

，

n

满足||

m

|=2，|

n

|=1，

m

，

n

的夹角为60°．
（Ⅰ）求向量

m

-

n

与

m

的夹角θ；
（Ⅱ）当向量2λ

m

+7

n

与向量

m

+λ

n

垂直时，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据向量的夹角公式，以及数量积计算即可
（Ⅱ）根据向量垂直的条件，即可求出λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

m

|=2，|

n

|=1，

m

，

n

的夹角为60°，
∴

m

n

=|

m

||

n

|cos60°=2×1×

1

2

=1
∴（

m

-

n

）•

m

=|

m

|²-

m

n

=4-1=3，（

m

-

n

）²=4+1-2=3，
∴cosθ=

m •( m - n )

| m || m - n |

=

3

2× 3

=

3

2

，
∴θ=60°，
（Ⅱ）∴2λ

m

+7

n

与向量

m

+λ

n

垂直，
∴（2λ

m

+7

n

）（

m

+λ

n

）=0，
即2λ

m

²+（2λ²+7）

m

n

+7λ

n

²=0，
即2λ²+15+7=0，
解得λ=-

1

2

，或λ=-7

点评：本题考查了向量的数量积，夹角公式，向量垂直的问题，属于中档题