Question

已知圆C：x²+y²=4，点A（a，0）（a＞0）
（1）若a=4，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）过点A作直线交圆C于不同两点M、N，求MN中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,轨迹方程

专题：计算题,作图题,直线与圆

分析：（1）若a=4，设切线倾斜角a，则sina=

2

4

=

1

2

；从而求斜率k=±

3

3

；从而求切线方程；
（2）设点P（x，y），则OP⊥AP；从而得

y-0

x-a

•

y

x

=-1；从而求轨迹方程．

解答： 解：（1）若a=4，设切线倾斜角a，则sina=

2

4

=

1

2

；
故切线的斜率为k=±

3

3

；
故切线方程为y=±

3

3

（x-4）；
故切线方程为x±

3

y-4=0；
（2）设点P（x，y），则OP⊥AP；
故

y-0

x-a

•

y

x

=-1；
化简得，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
当0＜a≤2时，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
当a＞2时，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

（0≤x≤

1

a

）．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系应用及轨迹方程的求法，属于中档题．