Question

已知函数，其中．

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求函数的最大值（可以用表示）；

（3）若对区间内的任意，总有，求实数的取值范围．

Answer 1

 解：（1）因为，又因为，所以 从而，所以．又因为，所以，因为，所以，．-------4分

（2）求函数的最大值即求，的最大值．

,对称轴为．      --------5分

当，即时， ；

当，即时，；

当，即时，；             --------9分

综上， 当时，的最大值是；当时，的最大值是；当时，的最大值是．            -------   10分

（3）要使得对区间内的任意恒成立，只需．也就是要求对成立

因为当，即时，；

且当时，         --------11分

结合问题（2）需分四种情况讨论：

①时，成立，所以；

②时，即，注意到函数在上单调递减，故，于是成立，所以

③时，即，注意到函数在上单调递增，

故，于是成立，所以；

④时，，即，所以；                                           --------15分

综上，实数的取值范围是 ．